Matematik

Matematik konu anlatımları, ders notları
» » » Parabol Konu Anlatımı

Parabol Konu Anlatımı

İkinci dereceden fonksiyonların grafiklerine parabol denir.

Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar: Eğer varsa o noktaya A diyelim. A noktası, x ekseni üzerinde olduğundan koordinatları (x1, 0) şeklinde olur.

Parabolün y Eksenini Kestiği Noktalar: Eğer varsa o noktaya C diyelim. C noktası, y ekseni üzerinde olduğundan koordinatları (0, y1) şeklindedir.

Parabolün Kollarının Yönü: Eğer x2 ’nin katsayısı olan a > 0 ise, çok çok büyük x’ler için ax2 de çok çok büyük olur, bx + c ifadesindeki b ve c negatif olsa dahi ax2 ’yi negatif yapmaya güçleri yetmez, y durmadan büyür, o halde kollar yukarı doğru olur. Ama a < 0 ise ax2 terimi daima negatif olur, çok çok büyük x’ler için bx + c sayısı ax2 sayısını negatif olmaktan kurtaramaz, o halde a < 0 durumunda parabolün kolları aşağı doğru olur.

Tepe Noktası ve Simetri Ekseni: Burada işleyeceğimiz parabol çeşitleri demin bahsettiğimiz üzere hep çukur veya tümsek şeklinde olanlar olacak. Çukur şeklindeki parabollerin azalmaktan artmaya geçtiği noktaya, tümsek şeklindeki parabollerin de artmaktan azalmaya geçtiği noktaya parabolün tepe noktası denir.

Tepe noktasından geçip, y eksenine paralel olan doğruya parabolün simetri ekseni denir.

 

PARABOL

A. TANIM

olmak üzere, tanımlanan
f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara
ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

     

kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir.

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği (parabol), yandaki gibi kolları yukarı doğru olan ya da kolları aşağı doğru olan bir eğridir.

 

Kural

 

  fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);

  y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır), ordinatı f(0) = c dir.

  x eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0, apsisleri
f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

 

Kural

  denkleminde,

 Δ = b2 – 4ac olmak üzere,

  Δ > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.

  Δ < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.

  Δ = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.

 

 

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.

Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan x1 ile x2 nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.

 

Kural

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,

 

Sonuç

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, bu parabolün simetri eksenix = r doğrusudur.

 

Uyarı

f(x) = ax2 + bx + c ifadesi ikinci dereceden fonksiyonunun en genel halidir.

Bu fonksiyon düzenlenerek f(x) = a(x – r)2 + k hâline dönüştürülürse, tepe noktasının T(r, k) olduğu görülür.

 

Kural

fonksiyonunun grafiğinde (parabolde),

a > 0 ise kollar yukarıya doğru,

a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur.

Buna göre, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir:

 

Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.

 

 

C. PARABOLÜN GRAFİĞİ

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.

2) Parabolün tepe noktası bulunur.

3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.

 

Kural

 A) olmak üzere, parabolün tepe noktası T(r, k) olsun.

  a < 0 ise, y alabileceği en büyük değer k dir.

  a > 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir.

 B) Parabolün tanım aralığı yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:

  f(x) in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur.

  f(a) ile f(b) hesaplanır.

  a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k, f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.

  b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil ise; f(a),
f(b) sayılarının, küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.

 

 

D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.

(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;

b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.

 

Kural

x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen parabolün denklemi,

      f(x) = a(x – x1)(x – x2) dir.

 

Kural

Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi,

      y = a(x – r)2 + k dir.

 

 

E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ

Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

 

F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ

y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır.

f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir. Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez.

Özel olarak,

f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0

denkleminin diskriminantı Δ = (b – m)2 – 4a(c – n) olsun.

Δ > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.

Δ < 0 ise parabol ile doğru kesişmez.

Δ = 0 ise doğru parabole teğettir.

 



Yorum Ekle

İsim: *
E-Mail:
Yorum: *
Güvenlik Kodu: *
Kodu Güncelle

Matematikçi Sözleri

Anket

Sitemizdeki paylaşımlarımız hangi seviye olsun. [?]